9. В таблице дано распределение случайной величины Х. Найдите: a) P (3≤ X ≤6); б) математическое ожидание случайной величины Х; в) дисперсию случайной величины Х.

Привет! Давай решим эту задачу по теории вероятностей.

Таблица распределения случайной величины X:

a) Найдем P (3 ≤ X ≤ 6):

• Это вероятность того, что случайная величина X примет значения от 3 до 6 включительно.
• Нужно сложить вероятности для X=3, X=4, X=5 и X=6.
• P (3 ≤ X ≤ 6) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)
• P (3 ≤ X ≤ 6) = 0,14 + 0,08 + 0,32 + 0,09 = 0,63.

б) Найдем математическое ожидание (E(X)):

• Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины, взвешенное по вероятностям.
• Формула: E(X) = Σ [X_i * P(X_i)]
• E(X) = (1 * 0,15) + (2 * 0,22) + (3 * 0,14) + (4 * 0,08) + (5 * 0,32) + (6 * 0,09)
• E(X) = 0,15 + 0,44 + 0,42 + 0,32 + 1,60 + 0,54
• E(X) = 3,47.

в) Найдем дисперсию (D(X)):

• Дисперсия показывает, насколько значения случайной величины разбросаны относительно ее математического ожидания.
• Формула: D(X) = E(X²) - (E(X))²
• Сначала найдем E(X²):
• E(X²) = Σ [X_i² * P(X_i)]
• E(X²) = (1² * 0,15) + (2² * 0,22) + (3² * 0,14) + (4² * 0,08) + (5² * 0,32) + (6² * 0,09)
• E(X²) = (1 * 0,15) + (4 * 0,22) + (9 * 0,14) + (16 * 0,08) + (25 * 0,32) + (36 * 0,09)
• E(X²) = 0,15 + 0,88 + 1,26 + 1,28 + 8,00 + 3,24
• E(X²) = 14,81.
• Теперь вычисляем дисперсию:
• D(X) = E(X²) - (E(X))²
• D(X) = 14,81 - (3,47)²
• D(X) = 14,81 - 12,0409
• D(X) = 2,7691.

Ответ:

• a) P (3 ≤ X ≤ 6) = 0,63
• б) Математическое ожидание E(X) = 3,47
• в) Дисперсия D(X) = 2,7691