912. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O; M — середина отрезка AO. Найдите число k, если это возможно, из равенства: а) \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AO}\); б) \(\overrightarrow{BO}=k\overrightarrow{BD}\); в) \(\overrightarrow{OC}=k\overrightarrow{CA}\); г) \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{DC}\); д) \(\overrightarrow{BC}=k\overrightarrow{DA}\); е) \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{CA}\); ж) \(\overrightarrow{MC}=k\overrightarrow{AM}\); з) \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{CM}\); и) \(\overrightarrow{AO}=k\overrightarrow{BD}\).

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, а противоположные стороны равны как векторы: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\).

1. \(\overrightarrow{AO}= frac12\overrightarrow{AC}\), поэтому \(k=2\).
2. \(\overrightarrow{BO}= frac12\overrightarrow{BD}\), поэтому \(k= frac12\).
3. \(\overrightarrow{OC}=- frac12\overrightarrow{CA}\), поэтому \(k=- frac12\).
4. \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), поэтому \(k=1\).
5. \(\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{DA}\), поэтому \(k=-1\).
6. Так как M — середина AO, \(\overrightarrow{AM}= frac14\overrightarrow{AC}=- frac14\overrightarrow{CA}\), поэтому \(k=- frac14\).
7. В общем случае векторы \(\overrightarrow{MC}\) и \(\overrightarrow{AM}\) не коллинеарны; такого k нет.
8. \(\overrightarrow{CM}=- frac34\overrightarrow{AC}\), поэтому \(k=- frac43\).
9. Диагонали параллелограмма в общем случае не параллельны, поэтому такого k нет.

Ответ: а) 2; б) \( frac12\); в) \(- frac12\); г) 1; д) −1; е) \(- frac14\); ж) невозможно; з) \(- frac43\); и) невозможно.