914. Докажите, что если векторы \(\vec a\) и \(\vec b\) неколлинеарны, то: а) векторы \(\vec a+\vec b\) и \(\vec a-\vec b\) неколлинеарны; б) векторы \(2\vec a-\vec b\) и \(\vec a+\vec b\) неколлинеарны; в) векторы \(\vec a+\vec b\) и \(\vec a+3\vec b\) неколлинеарны.

Поскольку \(\vec a\) и \(\vec b\) неколлинеарны, равенство \(p\vec a+q\vec b=\vec0\) возможно только при \(p=q=0\). Проверим, могут ли в каждой паре векторы быть пропорциональны.

1. Если \(\vec a+\vec b=\lambda(\vec a-\vec b)\), то \((1-\lambda)\vec a+(1+\lambda)\vec b=\vec0\). Тогда одновременно \(1-\lambda=0\) и \(1+\lambda=0\), что невозможно.
2. Если \(2\vec a-\vec b=\lambda(\vec a+\vec b)\), то \((2-\lambda)\vec a+(-1-[0m\lambda)\vec b=\vec0\). Это потребовало бы одновременно \(\lambda=2\) и \(\lambda=-1\), что невозможно.
3. Если \(\vec a+\vec b=\lambda(\vec a+3\vec b)\), то \((1-\lambda)\vec a+(1-3\lambda)\vec b=\vec0\). Это потребовало бы одновременно \(\lambda=1\) и \(\lambda= frac13\), что невозможно.

Следовательно, во всех трёх случаях векторы неколлинеарны.