914. Докажите, что если векторы $\vec a$ и $\vec b$ не коллинеарны, то: а) векторы $\vec a+\vec b$ и $\vec a-\vec b$ не коллинеарны; б) векторы $2\vec a-\vec b$ и $\vec a+\vec b$ не коллинеарны; в) векторы $\vec a+\vec b$ и $\vec a+3\vec b$ не коллинеарны.

Question

Вопрос: $Фото задания: 914. Докажите, что если векторы $\vec a$ и $\vec b$ не коллинеарны, то: а) векторы $\vec a+\vec b$ и \(\vec a-\vec…$ Фото задания

914. Докажите, что если векторы $\vec a$ и $\vec b$ не коллинеарны, то: а) векторы $\vec a+\vec b$ и $\vec a-\vec b$ не коллинеарны; б) векторы $2\vec a-\vec b$ и $\vec a+\vec b$ не коллинеарны; в) векторы $\vec a+\vec b$ и $\vec a+3\vec b$ не коллинеарны.

Accepted Answer

Предположим, что $\vec a+\vec b=t(\vec a-\vec b)$. Тогда $(1-t)\vec a+(1+t)\vec b=\vec0$. Так как $\vec a$ и $\vec b$ не коллинеарны, коэффициенты должны быть нулевыми одновременно: $1-t=0$ и $1+t=0$, что невозможно. Значит, векторы не коллинеарны.
Предположим, что $2\vec a-\vec b=t(\vec a+\vec b)$. Тогда $(2-t)\vec a+(-1-t)\vec b=\vec0$. Получаем одновременно $2-t=0$ и $-1-t=0$, что невозможно. Значит, векторы не коллинеарны.
Предположим, что $\vec a+\vec b=t(\vec a+3\vec b)$. Тогда $(1-t)\vec a+(1-3t)\vec b=\vec0$. Должно быть $1-t=0$ и $1-3t=0$, но эти равенства несовместимы. Значит, векторы не коллинеарны.

Ответ: