952. Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Разместим его в координатной системе так, чтобы \(C=(0;0)\), \(A=(u;0)\), \(B=(0;v)\). Середина гипотенузы AB имеет координаты \(M(\frac u2;\frac v2)\).

Тогда \(MC^2=(\frac u2)^2+(\frac v2)^2=\frac{u^2+v^2}{4}\). Также \(MA^2=(-\frac u2)^2+(\frac v2)^2=\frac{u^2+v^2}{4}\), и \(MB^2=(\frac u2)^2+(-\frac v2)^2=\frac{u^2+v^2}{4}\). Следовательно, \(MA=MB=MC\).

Итак, середина гипотенузы равноудалена от всех трёх вершин прямоугольного треугольника.