995. При каких значениях а уравнение x² + 2ax + a² - 4 = 0 имеет два корня, принадлежащие промежутку (-6; 6)?

Решение:

Уравнение \( x^2 + 2ax + a^2 - 4 = 0 \) можно переписать как \( (x+a)^2 - 4 = 0 \), или \( (x+a-2)(x+a+2) = 0 \).

Корни уравнения: \( x_1 = 2 - a \) и \( x_2 = -2 - a \).

Нам нужно, чтобы оба корня принадлежали промежутку \( (-6; 6) \).

Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: \( x_1 < x_2 \)
   \( 2 - a < -2 - a \)
   \( 2 < -2 \) — это неверно, значит \( x_1 \) всегда больше \( x_2 \) при \( a \) одинаковом.
2. Случай 2: \( x_1 > x_2 \)
   \( 2 - a > -2 - a \)
   \( 2 > -2 \) — это верно. Значит \( x_1 = 2 - a \) и \( x_2 = -2 - a \).

Теперь проверим принадлежность корней промежутку \( (-6; 6) \):

Для \( x_1 = 2 - a \):
\( -6 < 2 - a < 6 \)
Вычтем 2:
\( -6 - 2 < -a < 6 - 2 \)
\( -8 < -a < 4 \)
Умножим на -1 и изменим знаки:
\( 8 > a > -4 \) или \( -4 < a < 8 \)

Для \( x_2 = -2 - a \):
\( -6 < -2 - a < 6 \)
Прибавим 2:
\( -6 + 2 < -a < 6 + 2 \)
\( -4 < -a < 8 \)
Умножим на -1 и изменим знаки:
\( 4 > a > -8 \) или \( -8 < a < 4 \)

Чтобы оба корня принадлежали промежутку \( (-6; 6) \), нужно, чтобы выполнялись оба условия. Найдем пересечение интервалов \( (-4; 8) \) и \( (-8; 4) \).

Пересечение интервалов: \( (-4; 4) \).

Таким образом, значения \( a \) должны удовлетворять условию \( -4 < a < 4 \).

Ответ: \( -4 < a < 4 \).