996. При каких значениях в уравнение x² - 6bx + 9b² - 16 = 0 имеет два отрицательных корня?

Решение:

Данное уравнение является квадратным: \( x^2 - 6bx + (9b^2 - 16) = 0 \).

Для того чтобы уравнение имело два отрицательных корня, должны выполняться три условия:

1. Дискриминант должен быть положительным (два различных действительных корня):
   \( D = (-6b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (9b^2 - 16) \)
   \( D = 36b^2 - 36b^2 + 64 \)
   \( D = 64 \)
   Так как \( D = 64 > 0 \) для любого \( b \), это условие всегда выполняется.
2. Сумма корней должна быть отрицательной:
   По теореме Виета, сумма корней \( x_1 + x_2 = -\frac{-6b}{1} = 6b \).
   \( 6b < 0 \)
   \( b < 0 \)
3. Произведение корней должно быть положительным:
   По теореме Виета, произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = \frac{9b^2 - 16}{1} = 9b^2 - 16 \).
   \( 9b^2 - 16 > 0 \)
   \( 9b^2 > 16 \)
   \( b^2 > \frac{16}{9} \)
   \( |b| > \frac{4}{3} \)
   Это означает, что \( b > \frac{4}{3} \) или \( b < -\frac{4}{3} \).

Теперь найдем значения \( b \), при которых выполняются все три условия. У нас есть:

• \( b < 0 \) (из условия 2)
• \( b > \frac{4}{3} \) или \( b < -\frac{4}{3} \) (из условия 3)

Объединяя эти условия, видим, что подходит только \( b < -\frac{4}{3} \).

Ответ: \( b < -\frac{4}{3} \).