7. а) (2 балла) Докажите, что выражение а(а + 2) – (b + 2)(2–b) + 6 положительно при любых значениях а и b. б) (2 балла) Какое наименьшее значение может принимать выражение a(a+2) – (b+1)(1–b)?

Ответ: а) Доказано; б) 0

1. Докажем, что выражение a(a + 2) – (b + 2)(2 – b) + 6 положительно: \[a(a + 2) - (b + 2)(2 - b) + 6 = a^2 + 2a - (4 - b^2) + 6 = a^2 + 2a - 4 + b^2 + 6 = a^2 + 2a + b^2 + 2\] \[a^2 + 2a + b^2 + 2 = (a^2 + 2a + 1) + b^2 + 1 = (a + 1)^2 + b^2 + 1\] Так как квадрат любого числа неотрицателен, то \[(a + 1)^2 \ge 0\) и \(b^2 \ge 0\] Следовательно, \((a + 1)^2 + b^2 + 1 > 0\) при любых значениях a и b.
2. Найдем наименьшее значение выражения a(a + 2) – (b + 1)(1 – b): \[a(a + 2) - (b + 1)(1 - b) = a^2 + 2a - (1 - b^2) = a^2 + 2a - 1 + b^2 = (a^2 + 2a + 1) + b^2 - 2 = (a + 1)^2 + b^2 - 2\] Наименьшее значение этого выражения достигается, когда \[(a + 1)^2 = 0\] и \[b^2 = 0\] То есть, когда a = -1 и b = 0. Тогда наименьшее значение выражения равно -2.

Ответ: а) Доказано; б) 0