2. (2 балла) Упростите выражение \(\frac{\sqrt{26-\sqrt{12}}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\) .

Ответ: 2

1. Преобразуем выражение в числителе: \[\sqrt{26-\sqrt{12}} = \sqrt{26-2\sqrt{3}}\]
2. Представим 26 как сумму двух чисел, произведение которых равно 3: \[26 = 23 + 3\] Тогда: \[\sqrt{23 + 3 - 2\sqrt{23 \cdot 3}} = \sqrt{(\sqrt{23} - \sqrt{3})^2} = |\sqrt{23} - \sqrt{3}|\] Так как \(\sqrt{23} > \sqrt{3}\), то модуль можно опустить: \[\sqrt{23} - \sqrt{3}\]
3. Теперь упростим исходное выражение: \[\frac{\sqrt{26-\sqrt{12}}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{23} - \sqrt{3})^2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{23} - \sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\]
4. Разложим \(\sqrt{6}\) как \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}\): \[\frac{\sqrt{23} - \sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{23} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}\] Домножим числитель и знаменатель на \((\sqrt{3}+1)\): \[\frac{(\sqrt{23} - \sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{(\sqrt{23} - \sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{2}(3-1)} = \frac{(\sqrt{23} - \sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{2}}\]
5. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на \(\sqrt{2}\): \[\frac{(\sqrt{23} - \sqrt{3})(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{23} - \sqrt{3})(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}}{4}\]

Ответ: 2