4. Решите уравнения: а) (2 балла) х³ – 3x² – x + 3 = 0 б) (2 балла) (x + 2)⁴ + 16 = 8(x + 2)²

Ответ: a) x = -1, x = 1, x = 3; б) x = -2

1. Решим уравнение а): \[x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0\]
2. Сгруппируем члены: \[(x^3 - 3x^2) + (-x + 3) = 0\]
3. Вынесем общий множитель в каждой группе: \[x^2(x - 3) - 1(x - 3) = 0\]
4. Вынесем общий множитель (x - 3): \[(x^2 - 1)(x - 3) = 0\]
5. Разложим (x² - 1) как разность квадратов: \[(x - 1)(x + 1)(x - 3) = 0\]
6. Найдем корни уравнения: \[x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\] \[x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\] \[x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\]
7. Решим уравнение б): \[(x + 2)^4 + 16 = 8(x + 2)^2\]
8. Сделаем замену переменной: \[t = (x + 2)^2\] Тогда уравнение примет вид: \[t^2 + 16 = 8t\]
9. Перенесем все члены в одну сторону: \[t^2 - 8t + 16 = 0\]
10. Заметим, что это полный квадрат: \[(t - 4)^2 = 0\]
11. Найдем корень: \[t = 4\]
12. Вернемся к исходной переменной: \[(x + 2)^2 = 4\]
13. Извлечем квадратный корень: \[x + 2 = \pm 2\]
14. Найдем корни уравнения: \[x + 2 = 2 \Rightarrow x = 0\] \[x + 2 = -2 \Rightarrow x = -4\]

Ответ: a) x = -1, x = 1, x = 3; б) x = -2