А.4 Камень брошен вертикально вверх со скоростью 10 м/с. На какой высоте кинетическая энергия камня равна его потенциальной энергии?

Решение:

При броске вертикально вверх камень обладает начальной кинетической энергией. По мере подъема кинетическая энергия переходит в потенциальную. В верхней точке вся кинетическая энергия перейдет в потенциальную (если пренебречь сопротивлением воздуха).

Начальная кинетическая энергия камня (при \( v_0 = 10 \) м/с) равна:

\( E_{k0} = \frac{m \cdot v_0^2}{2} \)

Потенциальная энергия на высоте \( h \) равна:

\( E_{p} = m \cdot g \cdot h \)

Кинетическая энергия на высоте \( h \) равна:

\( E_{k} = \frac{m \cdot v^2}{2} \)

Условие задачи: \( E_{k} = E_{p} \)

\( \frac{m \cdot v^2}{2} = m \cdot g \cdot h \)

\( \frac{v^2}{2} = g \cdot h \) (масса \( m \) сокращается)

\( h = \frac{v^2}{2g} \)

Для того чтобы найти \( v \) на данной высоте, воспользуемся законом сохранения энергии:

\( E_{k0} = E_{k} + E_{p} \)

\( \frac{m \cdot v_0^2}{2} = \frac{m \cdot v^2}{2} + m \cdot g \cdot h \)

\( \frac{v_0^2}{2} = \frac{v^2}{2} + g \cdot h \)

По условию \( E_{k} = E_{p} \), значит \( \frac{m \cdot v^2}{2} = m \cdot g \cdot h \), следовательно \( \frac{v^2}{2} = g \cdot h \). Подставим это в уравнение сохранения энергии:

\( \frac{v_0^2}{2} = g \cdot h + g \cdot h \)

\( \frac{v_0^2}{2} = 2 \cdot g \cdot h \)

\( h = \frac{v_0^2}{4g} \)

Подставим значения: \( v_0 = 10 \) м/с, \( g \approx 10 \) м/с² (приближенно, как в большинстве школьных задач).

\( h = \frac{(10 \text{ м/с})^2}{4 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{100 \text{ м}^2/\text{с}^2}{40 \text{ м/с}^2} = 2.5 \text{ м} \)

Ответ: 2,5 м.