8. а) Решите уравнение cos2x - 3cosx + 2 = 0. б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2].

Ответ: x = -4π, x = -7π/3, x = -5π/3

Разбираемся:

• а) Решим уравнение cos2x - 3cosx + 2 = 0.
• Используем формулу cos2x = 2cos²x - 1.
• Тогда уравнение принимает вид: 2cos²x - 1 - 3cosx + 2 = 0
• 2cos²x - 3cosx + 1 = 0
• Пусть y = cosx, тогда 2y² - 3y + 1 = 0
• Решим квадратное уравнение:
• D = (-3)² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1
• y₁ = (3 + 1) / (2 * 2) = 4 / 4 = 1
• y₂ = (3 - 1) / (2 * 2) = 2 / 4 = 1/2
• Вернемся к замене:
• cosx = 1 или cosx = 1/2
• Решение cosx = 1: x = 2πn, n ∈ Z
• Решение cosx = 1/2: x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z
• б) Найдем все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2].
• Для x = 2πn:
  • n = -2: x = -4π (принадлежит отрезку)
  • n = -1: x = -2π (не принадлежит отрезку, так как -2π > -5π/2)
• Для x = π/3 + 2πn:
  • n = -1: x = π/3 - 2π = -5π/3 (принадлежит отрезку)
  • n = -2: x = π/3 - 4π = -11π/3 (не принадлежит отрезку, так как -11π/3 < -4π)
• Для x = -π/3 + 2πn:
  • n = -1: x = -π/3 - 2π = -7π/3 (принадлежит отрезку)
  • n = -2: x = -π/3 - 4π = -13π/3 (не принадлежит отрезку, так как -13π/3 < -4π)

Финальные корни, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2]: x = -4π, x = -5π/3, x = -7π/3

Ответ: x = -4π, x = -7π/3, x = -5π/3