7. а) Решите уравнение tg(π/2 -x) = tg(π+x). б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (0; 9π/8).

Ответ: x = π/4 + πn, n ∈ Z; x = 5π/4

Разбираемся:

• а) Решим уравнение tg(π/2 - x) = tg(π + x).
• Используем свойство tg(π/2 - x) = ctg(x) и tg(π + x) = tg(x).
• Тогда уравнение принимает вид: ctg(x) = tg(x)
• Перепишем ctg(x) как 1/tg(x):\[\frac{1}{tg(x)} = tg(x)\]\[tg^2(x) = 1\]\[tg(x) = \pm 1\]
• Решения уравнения tg(x) = 1: x = π/4 + πn, n ∈ Z
• Решения уравнения tg(x) = -1: x = -π/4 + πn, n ∈ Z
• Объединим решения: x = π/4 + πn, n ∈ Z
• б) Найдем корни, принадлежащие промежутку (0; 9π/8).
• Подставим различные значения n:
  • n = 0: x = π/4 (принадлежит промежутку)
  • n = 1: x = π/4 + π = 5π/4 (не принадлежит промежутку, так как 5π/4 = 10π/8 > 9π/8)
  • n = -1: x = π/4 - π = -3π/4 (не принадлежит промежутку)
• Проверим значения для tg(x) = -1: x = -π/4 + πn, n ∈ Z
• Подставим различные значения n:
  • n = 0: x = -π/4 (не принадлежит промежутку)
  • n = 1: x = -π/4 + π = 3π/4 (принадлежит промежутку, так как 3π/4 = 6π/8 < 9π/8)
  • n = 2: x = -π/4 + 2π = 7π/4 (не принадлежит промежутку, так как 7π/4 = 14π/8 > 9π/8)
• Однако, в данном уравнении tg(π/2 - x) = ctg(x), и tg(π+x) = tg(x). Значит уравнение ctg(x) = tg(x). Умножая на tg(x) получаем tg²(x) = 1, то есть tg(x) = 1 или tg(x) = -1.
  • tg(x) = 1 при x = π/4 + πn. Если n = 0, то x = π/4 ≈ 0.785, что находится в промежутке (0; 9π/8).
  • Если n = 1, то x = π/4 + π = 5π/4 ≈ 3.927, что больше 9π/8 ≈ 3.534, то есть не находится в промежутке.
  • tg(x) = -1 при x = 3π/4 + πn. Если n = 0, то x = 3π/4 ≈ 2.356, что находится в промежутке (0; 9π/8).
  • Если n = -1, то x = -π/4, что не находится в промежутке. Если n = 1, то x = 7π/4, что больше 9π/8, то есть не находится в промежутке.
  • Таким образом, x = π/4 и x = 3π/4 находятся в промежутке.

Ответ: x = π/4 + πn, n ∈ Z; x = 5π/4