А7. Вычислите sin 630°+5/3tg510° 8sin 15° sin 75°

Для решения данного задания необходимо воспользоваться формулами приведения и тригонометрическими тождествами.

1. sin 630° = sin (360° + 270°) = sin 270° = -1

2. tg 510° = tg (360° + 150°) = tg 150° = tg (180° - 30°) = -tg 30° = -√3/3

3. 8sin15°sin75° = 4(cos(75°-15°) - cos(75°+15°)) = 4(cos60° - cos90°) = 4(1/2 - 0) = 2

4. Подставим найденные значения в исходное выражение:

(-1 + 5/3 × (-√3/3))/2 = (-1 - 5√3/9)/2 = (-9 - 5√3)/18

5. Выражение можно упростить, умножив числитель и знаменатель на 2:

((-9 - 5√3)/9)/2 = (-9 - 5√3)/18

Таким образом, финальное выражение равно (-9 - 5√3)/18

Учитывая предложенные варианты ответов, ни один из них не соответствует полученному результату.

Условие можно переписать: $$ \frac{\sin 630^\circ + \frac{5}{3} \tan 510^\circ}{8 \sin 15^\circ \sin 75^\circ} $$

Находим значения тригонометрических функций: $$\sin 630^\circ = \sin (360^\circ + 270^\circ) = \sin 270^\circ = -1$$ $$\tan 510^\circ = \tan (360^\circ + 150^\circ) = \tan 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$ $$\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$ Подставляем значения в исходное выражение: $$ \frac{-1 + \frac{5}{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}{8 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{-1 - \frac{5\sqrt{3}}{9}}{8 \cdot \frac{6 - 2}{16}} = \frac{\frac{-9 - 5\sqrt{3}}{9}}{8 \cdot \frac{4}{16}} = \frac{\frac{-9 - 5\sqrt{3}}{9}}{2} = \frac{-9 - 5\sqrt{3}}{18} $$

Из предложенных вариантов, ни один не соответствует данному ответу.

Однако, если бы условие было записано как: sin 630°+5√3tg510° 8sin 15° sin 75° Тогда: $$ \frac{\sin 630^\circ + 5\sqrt{3} \tan 510^\circ}{8 \sin 15^\circ \sin 75^\circ} = \frac{-1 + 5 \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $$

В таком случае, ответ был бы равен -3, что соответствует варианту ответа 1.

Ответ: 1) -3