49. Найдите среднее арифметическое корней уравнения cos 2x − cos 4x = 0 на промежутке (0; π).

Для решения данного задания нужно найти корни уравнения cos 2x - cos 4x = 0 на промежутке (0; π), а затем вычислить их среднее арифметическое.

1. Решим уравнение cos 2x - cos 4x = 0, используя формулу разности косинусов:

cos α - cos β = -2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2) cos 2x - cos 4x = -2sin((2x+4x)/2)sin((2x-4x)/2) = -2sin(3x)sin(-x) = 2sin(3x)sin(x) = 0

Таким образом, уравнение сводится к:

2sin(3x)sin(x) = 0 Это уравнение выполняется, когда sin(3x) = 0 или sin(x) = 0.

2. Найдем корни для sin(x) = 0:

x = nπ, где n - целое число.

На промежутке (0; π) корень только один: x = π (но он не входит в промежуток, поэтому корней нет на этом интервале).

3. Найдем корни для sin(3x) = 0:

3x = nπ, где n - целое число.

x = nπ/3, где n - целое число.

На промежутке (0; π) корни:

n = 1: x₁ = π/3

n = 2: x₂ = 2π/3

4. Вычислим среднее арифметическое найденных корней:

Среднее арифметическое = (x₁ + x₂)/2 = (π/3 + 2π/3)/2 = (3π/3)/2 = π/2

Ответ: 4) π/2