В3. Четырехугольник ABCD вписан в окружность так, что диагональ BD является диаметром этой окружности. Найдите градусную меру угла ABD, если известно, что ∠ADC = 94°, а угол DBC на 14° меньше угла CDB.

1. Так как BD - диаметр окружности, то углы BAD и BCD прямые (опираются на диаметр): ∠BAD = ∠BCD = 90°.

2. В четырехугольнике ABCD сумма противоположных углов равна 180°: ∠ADC + ∠ABC = 180°. Значит, ∠ABC = 180° - ∠ADC = 180° - 94° = 86°.

3. ∠BCD = 90°, значит ∠BCA = 90° - ∠DCA. Но угол DCA опирается на сторону DA, а угол DBA опирается на эту же сторону, следовательно ∠DCA = ∠DBA.

4. Пусть ∠CDB = x, тогда ∠DBC = x - 14°.

5. Сумма углов треугольника BCD равна 180°: ∠BCD + ∠CDB + ∠DBC = 180°.

90° + x + (x - 14°) = 180°

2x + 76° = 180°

2x = 104°

x = 52°

Таким образом, ∠CDB = 52°, а ∠DBC = 52° - 14° = 38°.

6. В треугольнике ABD угол BAD = 90°. Значит ∠ABD + ∠ADB = 90°.

7. Угол ADB опирается на сторону AB, а угол ACB опирается на эту же сторону, следовательно ∠ADB = ∠ACB. ∠ACB = ∠BCD - ∠ACD = 90° - ∠ACD.

8. Так как ∠ACD = ∠ABD, то обозначим ∠ABD = y. Тогда ∠ADB = 90° - y.

9. В треугольнике ABD: ∠ABD + ∠ADB = 90° => y + (90° - y) = 90°. Это верно, но не помогает найти y.

10. Рассмотрим треугольник ABC. В нём ∠ABC = 86°. ∠BAC = 90° - ∠DAC.

11. Угол DAC опирается на сторону DC, а угол DBC опирается на эту же сторону, следовательно ∠DAC = ∠DBC = 38°.

12. Значит ∠BAC = 90° - 38° = 52°.

13. В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.

52° + 86° + ∠BCA = 180°

∠BCA = 180° - 52° - 86° = 42°.

14. ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = 86° - 38° = 48°.

Ответ: 48°