В6. Найдите среднее арифметическое корней (или корень, если он один) уравнения (√x+17-3)(√x+4+2) = x.

Чтобы найти среднее арифметическое корней (или корень, если он один) уравнения (√x+17-3)(√x+4+2) = x, решим это уравнение.

(√x+17 - 3)(√x+4 + 2) = x

(√x+17 - 3)(√x+4 + 2) = x

Раскроем скобки:

√(x+17)√(x+4) + 2√(x+17) - 3√(x+4) - 6 = x

√(x+17)√(x+4) = x + 6 - 2√(x+17) + 3√(x+4)

Возведем обе части в квадрат:

(x+17)(x+4) = (x + 6 - 2√(x+17) + 3√(x+4))²

x² + 21x + 68 = x² + 36 + 4(x+17) + 9(x+4) + 12x - 4(x+6)√(x+17) + 6(x+6)√(x+4) - 12√(x+17)√(x+4)

Упростим исходное уравнение до более простого вида.

(√(x+17) - 3)(√(x+4) + 2) = x

√(x+17)√(x+4) + 2√(x+17) - 3√(x+4) - 6 = x

√(x+17)√(x+4) + 2√(x+17) - 3√(x+4) = x + 6

Рассмотрим случай, когда √(x+17) = 3. Тогда x+17 = 9, то есть x = -8. Подставим в исходное уравнение:

(3-3)(√(-8+4) + 2) = -8

0 = -8 Неверно.

Рассмотрим случай, когда √(x+4) = -2. Это невозможно, так как корень не может быть отрицательным числом.

Выразим √(x+17) через √(x+4):

√(x+17) = (x + 6 + 3√(x+4)) / (√(x+4) + 2)

Возведем в квадрат:

x+17 = (x + 6 + 3√(x+4))² / (√(x+4) + 2)²

(x+17)((x+4) + 4√(x+4) + 4) = (x+6)² + 6(x+6)√(x+4) + 9(x+4)

(x+17)(x+8+4√(x+4)) = x² + 12x + 36 + (6x+36)√(x+4) + 9x + 36

(x+17)(x+8) + 4(x+17)√(x+4) = x² + 21x + 72 + (6x+36)√(x+4)

x² + 25x + 136 + 4(x+17)√(x+4) = x² + 21x + 72 + (6x+36)√(x+4)

4x + 64 = (2x + 4)√(x+4)

2x + 32 = (x + 2)√(x+4)

(2x + 32)² = (x + 2)²(x+4)

4x² + 128x + 1024 = (x² + 4x + 4)(x+4)

4x² + 128x + 1024 = x³ + 4x² + 4x² + 16x + 4x + 16

4x² + 128x + 1024 = x³ + 8x² + 20x + 16

x³ + 4x² - 108x - 1008 = 0

(√x+17-3)(√x+4+2) = x

(√(x+17) - 3)(√(x+4) + 2) = x

Если √(x+17) = 3, то x+17 = 9, x = -8. Подставим в уравнение, получим 0 = -8, не подходит.

Если √(x+4) = -2, такого быть не может.

√(x+17)√(x+4) + 2√(x+17) - 3√(x+4) - 6 = x

√(x+17)√(x+4) + 2√(x+17) - 3√(x+4) = x+6

(√(x+17)√(x+4) - x - 6) + (2√(x+17) - 3√(x+4)) = 0

Выразим x = (√x+17-3)(√x+4+2)

x = (√(x+17)√(x+4) + 2√(x+17) - 3√(x+4) - 6)

0 = (√x+17-3)(√x+4+2) -x

Если (√x+17-3)=0 или (√x+4+2) = 0

(√x+17-3)=0 √x+17 = 3 x+17 = 9 x = -8 √(x+4) =√(-4) - Не имеет смысла

(√x+4+2) = 0 нет решения.

После замены t = sqrt(x+4). Тогда x= t² -4. (sqrt(t²+13) -3)(t+2) = t²-4 sqrt(t²+13) = (t²-4)/(t+2) + 3 = (t-2) + 3 = t+1 t²+13 = t²+2t+1 2t=12 t=6 x= 36-4 = 32

Проверка (sqrt(32+17) -3) (sqrt(32+4) +2) = (sqrt49 -3)(sqrt36 +2) = (7-3)(6+2)= 4*8 = 32

Значит корень 32

Ответ: 32