В4. Найдите сумму квадратов корней уравнения 6 6 x² − 5x + ( --- + 5) = 12. x x

Чтобы найти сумму квадратов корней уравнения $$x^2 - 5x + \frac{6}{x} + 5 = 12$$, сначала упростим его:

$$x^2 - 5x + \frac{6}{x} - 7 = 0$$

Умножим обе части уравнения на x (при условии x ≠ 0):

$$x^3 - 5x^2 - 7x + 6 = 0$$

Теперь нам нужно найти сумму квадратов корней этого кубического уравнения. Пусть корни уравнения $$x^3 - 5x^2 - 7x + 6 = 0$$ равны x₁, x₂ и x₃.

По теореме Виета для кубического уравнения $$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$$:

x₁ + x₂ + x₃ = -b/a

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a

x₁x₂x₃ = -d/a

В нашем случае a = 1, b = -5, c = -7, d = 6. Тогда:

x₁ + x₂ + x₃ = -(-5)/1 = 5

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = -7/1 = -7

x₁x₂x₃ = -6/1 = -6

Нам нужно найти сумму квадратов корней: x₁² + x₂² + x₃².

Мы знаем, что (x₁ + x₂ + x₃)² = x₁² + x₂² + x₃² + 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃). Тогда:

x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)² - 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) = (5)² - 2(-7) = 25 + 14 = 39

Итак, сумма квадратов корней уравнения равна 39.

Ответ: 39