A1 Найдите область определения функции y = √4x2 - 5x + 1

Решение:

Область определения функции \( y = \sqrt{4x^2 - 5x + 1} \) находится, когда подкоренное выражение неотрицательно:

• \( 4x^2 - 5x + 1 \ge 0 \)
• Найдем корни квадратного уравнения \( 4x^2 - 5x + 1 = 0 \).
• Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 · 4 · 1 = 25 - 16 = 9 \). \( \sqrt{D} = 3 \).
• Корни: \( x_1 = \frac{5 - 3}{2 · 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \) и \( x_2 = \frac{5 + 3}{2 · 4} = \frac{8}{8} = 1 \).
• Парабола \( y = 4x^2 - 5x + 1 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( 4x^2 - 5x + 1 \ge 0 \) выполняется при \( x \in (-\infty; \frac{1}{4}] \cup [1; +\infty) \).

Ответ: \( (-\infty; \frac{1}{4}] \cup [1; +\infty) \).