А16. Хорда КД равна 66 см. ОД и ОК - радиусы окружности, причем угол ДОК равен 90°. Найдите расстояние от точки О до хорды ДК.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ДОК. Так как ОД и ОК — радиусы, то ДО = ОК. Следовательно, треугольник ДОК — равнобедренный.
2. Угол ДОК равен 90°, значит, треугольник ДОК — прямоугольный и равнобедренный.
3. Пусть ОТ — высота, опущенная из О на хорду ДК. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.
4. Следовательно, Т — середина хорды ДК, и ДТ = ТК = 66 см / 2 = 33 см.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник ОТК. Угол ОТК = 90°.
6. По теореме Пифагора: ОТ² + ТК² = ОК².
7. Так как треугольник ДОК прямоугольный и равнобедренный с прямым углом при вершине О, то углы ОДК и ОКД равны (180° - 90°) / 2 = 45°.
8. В треугольнике ОТК: угол ОТК = 90°, угол ОКТ = 45°. Следовательно, угол ТОК = 180° - 90° - 45° = 45°.
9. Значит, треугольник ОТК — прямоугольный и равнобедренный, ОТ = ТК.
10. Поскольку ТК = 33 см, то ОТ = 33 см.

Ответ: 33 см