В2. Периметр равнобедренного треугольника равен 37см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов острый. Найдите стороны треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике две стороны равны (боковые), а третья — основание. Есть два случая разности сторон:

Случай 1: Разность боковой стороны и основания равна 4 см.

1. Пусть боковая сторона равна x, а основание равно x - 4.
2. Периметр: x + x + (x - 4) = 37
3. 3x - 4 = 37
4. 3x = 41
5. x = 41/3 (боковая сторона)
6. Основание = 41/3 - 4 = 41/3 - 12/3 = 29/3.
7. Стороны: 41/3 см, 41/3 см, 29/3 см.
8. Проверим условие существования треугольника: 29/3 + 41/3 = 70/3 > 41/3. Условие выполняется.
9. Внешний угол может быть острым.

Случай 2: Разность двух боковых сторон равна 4 см.

1. Так как боковые стороны равны, их разность равна 0. Этот случай не подходит под условие "разность двух сторон равна 4 см".

Случай 3: Разность основания и боковой стороны равна 4 см.

1. Пусть боковая сторона равна x, а основание равно x + 4.
2. Периметр: x + x + (x + 4) = 37
3. 3x + 4 = 37
4. 3x = 33
5. x = 11 (боковая сторона)
6. Основание = 11 + 4 = 15.
7. Стороны: 11 см, 11 см, 15 см.
8. Проверим условие существования треугольника: 11 + 11 = 22 > 15. Условие выполняется.
9. Теперь проверим условие про внешний угол. Сумма углов треугольника 180°.
10. Если основание больше боковых сторон (15 > 11), то углы при основании тупые, а угол при вершине острый. Внешние углы при основании будут острые.
11. Если боковые стороны больше основания (11, 11, 9), то углы при основании острые, а угол при вершине тупой. Внешний угол при вершине будет острым.
12. В нашем случае: стороны 11, 11, 15. Углы при основании будут острыми, а угол при вершине — тупым. Внешние углы при основании будут тупыми (180° - острый угол), а внешний угол при вершине будет острым (180° - тупой угол).
13. Угол при вершине: cos(A) = (11^2 + 11^2 - 15^2) / (2 * 11 * 11) = (121 + 121 - 225) / 242 = 17 / 242. Угол острый.
14. Углы при основании: cos(B) = (11^2 + 15^2 - 11^2) / (2 * 11 * 15) = 225 / 330. Угол острый.
15. Следовательно, стороны 11, 11, 15 удовлетворяют всем условиям.

Ответ: 11 см, 11 см, 15 см