В2. Периметр равнобедренного треугольника равен 37см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов острый. Найдите стороны треугольника.

Решение:

Пусть стороны равнобедренного треугольника равны \( a \), \( a \) и \( b \).

Периметр: \( 2a + b = 37 \) см.

Разность двух сторон равна 4 см. Возможны два случая:

Случай 1: Разность равных сторон.

\( a - a = 0 \) ≠ 4 см. Этот случай невозможен.

Случай 2: Разность основания и боковой стороны.

Возможны два варианта:

Вариант 2а: \( a - b = 4 \)

1. \( a = b + 4 \)
2. Подставим в уравнение периметра: \( 2(b + 4) + b = 37 \)
3. \( 2b + 8 + b = 37 \)
4. \( 3b = 37 - 8 = 29 \)
5. \( b = \frac{29}{3} \) см.
6. \( a = b + 4 = \frac{29}{3} + 4 = \frac{29 + 12}{3} = \frac{41}{3} \) см.
7. Стороны: \( \frac{41}{3} \) см, \( \frac{41}{3} \) см, \( \frac{29}{3} \) см.
8. Проверим условие треугольника: \( \frac{41}{3} + \frac{29}{3} = \frac{70}{3} > \frac{41}{3} \) (верно).
9. Внешний угол острый. Это означает, что соответствующий внутренний угол тупой. В равнобедренном треугольнике при основании углы острые. Значит, углы при основании должны быть тупыми, что невозможно. Этот случай не подходит.

Вариант 2б: \( b - a = 4 \)

1. \( b = a + 4 \)
2. Подставим в уравнение периметра: \( 2a + (a + 4) = 37 \)
3. \( 3a + 4 = 37 \)
4. \( 3a = 37 - 4 = 33 \)
5. \( a = \frac{33}{3} = 11 \) см.
6. \( b = a + 4 = 11 + 4 = 15 \) см.
7. Стороны: 11 см, 11 см, 15 см.
8. Проверим условие треугольника: \( 11 + 11 = 22 > 15 \) (верно).
9. Внешний угол острый. Это означает, что соответствующий внутренний угол тупой. Углы при основании (11 см) должны быть острыми. Угол при вершине (15 см) может быть тупым. Если угол при вершине тупой, то внешний угол при вершине будет острым. Это условие выполняется.

Ответ: Стороны треугольника равны 11 см, 11 см и 15 см.