А2. Точки А, В, С лежат на окружности с центром в точке О. ВС: UAC = 3 : 4, ∠AB < 180°, ∠AC < 180°, ∠BCA = 40°. Чему равен угол ВОС?

Решение:

• Обозначим градусные меры дуг ∠BC, ∠AC и ∠AB как 3x, 4x и y соответственно.
• Сумма всех дуг окружности равна 360°. То есть, 3x + 4x + y = 360°, откуда 7x + y = 360°.
• Вписанный угол ∠BCA = 40° опирается на дугу AB. Градусная мера дуги AB равна удвоенной величине вписанного угла, т.е. y = 2 * 40° = 80°.
• Подставим значение y в первое уравнение: 7x + 80° = 360°.
• Решим уравнение относительно x: 7x = 360° - 80° = 280°.
• x = 280° / 7 = 40°.
• Таким образом, градусная мера дуги BC равна 3x = 3 * 40° = 120°, а дуги AC равна 4x = 4 * 40° = 160°.
• Центральный угол ∠BOC равен градусной мере дуги BC.

Ответ: 120°