C1. Через середину диагонали KM прямоугольника KLMN перпендикулярно этой диагонали проведена прямая, пересекающая стороны KL и MN в точках A и B соответственно. Известно, что AB = BM = 6 см. Найдите большую сторону прямоугольника.

Пусть \(O\) — середина диагонали \(KM\). Проведённая через \(O\) прямая перпендикулярна \(KM\), поэтому она является серединным перпендикуляром к диагонали: точки \(A\) и \(B\text{ расположены симметрично относительно }O\), и \(AO=OB\).

Так как \(AB=6\) см, то \(AO=OB=3\) см. По условию \(BM=6\) см. В прямоугольном треугольнике \(BOM\) имеем \(OB=3\), \(BM=6\), поэтому \(OM=\sqrt{BM^2-OB^2}=\sqrt{36-9}=3\sqrt3\text{ см}.

Диагональ \(KM=2OM=6\sqrt3\) см. Если стороны прямоугольника равны \(x\text{ и }y\text{,}\) то \(x^2+y^2=KM^2=108\text{ см}^2\text{.}\) Из условия расположения перпендикуляра следует, что меньшая сторона равна \(AB=6\) см. Тогда большая сторона:

\(x=\sqrt{108-36}=\sqrt{72}=6\sqrt2\) см.

Ответ: \(6\sqrt2\) см.