А8 Решите уравнение 3/(x-8) + 8/(x-3) = 2.

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю:

1. Общий знаменатель — (x-8)(x-3).
2. \[ \frac{3(x-3)}{(x-8)(x-3)} + \frac{8(x-8)}{(x-8)(x-3)} = 2 \]
3. \[ \frac{3x - 9 + 8x - 64}{(x-8)(x-3)} = 2 \]
4. \[ \frac{11x - 73}{x^2 - 3x - 8x + 24} = 2 \]
5. \[ \frac{11x - 73}{x^2 - 11x + 24} = 2 \]
6. Умножим обе части на знаменатель:
• \[ 11x - 73 = 2(x^2 - 11x + 24) \]
• \[ 11x - 73 = 2x^2 - 22x + 48 \]
7. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
• \[ 2x^2 - 22x - 11x + 48 + 73 = 0 \]
• \[ 2x^2 - 33x + 121 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
• \[ D = b^2 - 4ac = (-33)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 121 = 1089 - 968 = 121 \]
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{121} = 11 \]
9. Найдем корни:
• \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{33 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{44}{4} = 11 \]
• \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{33 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} = 5.5 \]
10. Проверим, не равны ли корни знаменателям: 11 ≠ 8, 11 ≠ 3, 5.5 ≠ 8, 5.5 ≠ 3.

Ответ: 11; 5.5