А8 Решите уравнение: 3/(x - 8) + 8/(x - 3) = 2

Решение:

Решим уравнение:

\[ \frac{3}{x - 8} + \frac{8}{x - 3} = 2 \]

ОДЗ: \( x \neq 8 \) и \( x \neq 3 \).

Приведем дроби к общему знаменателю \( (x - 8)(x - 3) \):

\[ \frac{3(x - 3) + 8(x - 8)}{(x - 8)(x - 3)} = 2 \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{3x - 9 + 8x - 64}{(x - 8)(x - 3)} = 2 \]

\[ \frac{11x - 73}{(x - 8)(x - 3)} = 2 \]

Умножим обе части на знаменатель:

\[ 11x - 73 = 2(x - 8)(x - 3) \]

Раскроем скобки в правой части:

\[ 11x - 73 = 2(x^2 - 3x - 8x + 24) \]

\[ 11x - 73 = 2(x^2 - 11x + 24) \]

\[ 11x - 73 = 2x^2 - 22x + 48 \]

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 2x^2 - 22x - 11x + 48 + 73 = 0 \]

\[ 2x^2 - 33x + 121 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-33)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 121 = 1089 - 968 = 121 \]

Найдём корни:

\[ x_1 = \frac{-(-33) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{33 + 11}{4} = \frac{44}{4} = 11 \]

\[ x_2 = \frac{-(-33) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{33 - 11}{4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} = 5,5 \]

Оба корня \( 11 \) и \( 5,5 \) не равны \( 8 \) и \( 3 \), поэтому подходят.

Ответ: \( x = 11, x = 5,5 \)