ABCD — ромб, AD = 5, ∠ABD = 30°. Выбрать верное утверждение: а) AC = 10; б) AC = 2,5; в) AC = 5.

Диагональ BD ромба делит угол B пополам, поэтому ∠ABC = 60°. Соседние углы ромба supplementary, значит ∠A = 120°. В треугольнике ABD стороны AB = AD = 5, а угол между ними ∠BAD = 120°.

По теореме косинусов:

\(BD^2=5^2+5^2-2\cdot5\cdot5\cos120^\circ=75\), поэтому \(BD=5\sqrt3\).

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Пусть O — точка их пересечения. Тогда \(AO^2=AD^2-DO^2=25-(5\sqrt3/2)^2=25/4\), откуда \(AO=5/2\), а \(AC=2AO=5\).

Ответ: в) AC = 5.