Вариант 6, 2. ABCD — ромб, BD = 16. Найти угол ромба и его периметр. На рисунке E — середина AB (AE = EB), ED ⟂ AB.

Так как E — середина AB, а ED перпендикулярна AB, прямая ED является серединным перпендикуляром к AB. Значит, EA = EB = ED. В треугольнике EBD получаем EB = ED, поэтому углы при B и D равны.

Но длина BD = 16 не задаёт эти углы или сторону ромба: масштаб фигуры известен только в одном направлении, а условие серединного перпендикуляра выполняется для разных ромбов. Например, если сторона ромба равна s и угол при A равен α, условие E D ⟂ AB приводит к \(\cos\alpha=-1/2\), то есть α = 120°; однако длина диагонали BD при этом равна стороне s, следовательно, s = 16. Тогда периметр равен 64.

Поскольку E — середина AB и ED ⟂ AB, из координатной проекции диагонали AD на AB следует \(\cos\alpha=-1/2\), значит угол ромба при A равен 120°, а соседний угол — 60°. Диагональ BD, соединяющая вершины острых углов, равна стороне ромба, поэтому сторона равна 16.

Ответ: углы ромба — 60° и 120°; периметр — 64.