12.26. Аквариум екі құбыр арқылы 3 сағатта сумен толтырылады. Бірінші құбырға екіншісіне қарағанда 2,5 сағ кем уақыт қажет болса, бірінші құбыр арқылы аквариум қанша уақытта толады?

Шешуі:

Белгілеулер енгіземіз:

• x — бірінші құбырдың аквариумды толтыру уақыты (сағат).
• y — екінші құбырдың аквариумды толтыру уақыты (сағат).

Есептің шарты бойынша:

• Екі құбыр бірігіп аквариумды 3 сағатта толтырады.
• Бірінші құбырға екіншісіне қарағанда 2,5 сағ кем уақыт қажет.

Осыған сүйеніп, келесі теңдеулер жүйесін құрамыз:

1. $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3} $$ (екі құбыр бірігіп 3 сағатта толтырады)
2. x = y - 2.5 (бірінші құбырға 2,5 сағ кем уақыт қажет)

Екінші теңдеуден y = x + 2.5 екенін табамыз. Бұны бірінші теңдеуге қойсақ:

$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+2.5} = \frac{1}{3} $$

Теңдеуді шешеміз:

$$ \frac{x+2.5 + x}{x(x+2.5)} = \frac{1}{3} $$

$$ \frac{2x+2.5}{x^2+2.5x} = \frac{1}{3} $$

$$ 3(2x+2.5) = x^2+2.5x $$

$$ 6x+7.5 = x^2+2.5x $$

$$ x^2 - 3.5x - 7.5 = 0 $$

Квадрат теңдеуді шешеміз:

$$ D = (-3.5)^2 - 4(1)(-7.5) = 12.25 + 30 = 42.25 $$

$$ x_1 = \frac{-(-3.5) + \sqrt{42.25}}{2(1)} = \frac{3.5 + 6.5}{2} = \frac{10}{2} = 5 $$

$$ x_2 = \frac{-(-3.5) - \sqrt{42.25}}{2(1)} = \frac{3.5 - 6.5}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5 $$

Уақыт теріс бола алмайтындықтан, біз тек оң шешімді қабылдаймыз.

x = 5 (бірінші құбыр 5 сағатта аквариумды толтырады)

Ответ: 5