12.27. Жиһаз фабрикасында екі бригаданың әрқайсысы 180 кітап сөресін дайындауы қажет. Бірінші бригада 1 сағатта екіншіге қарағанда 2 кітап сөресін артық дайындап, жұмысты 3 сағ ерте бітірді. Әр бригада тапсырманы қанша уақытта орындады?

Шешуі:

Белгілеулер енгіземіз:

• x — бірінші бригаданың тапсырманы орындау уақыты (сағат).
• y — екінші бригаданың тапсырманы орындау уақыты (сағат).

Есептің шарты бойынша:

• Әр бригада 180 кітап сөресін дайындауы қажет.
• Бірінші бригада 1 сағатта екіншіге қарағанда 2 кітап сөресін артық дайындайды.
• Бірінші бригада жұмысты 3 сағ ерте бітірді.

Осыған сүйеніп, келесі теңдеулер жүйесін құрамыз:

1. x = y - 3 (бірінші бригада 3 сағ ерте бітірді)

Бірінші бригаданың 1 сағатта дайындайтын кітап сөрелерінің санын A деп, ал екінші бригаданың 1 сағатта дайындайтын кітап сөрелерінің санын B деп белгілейік. Сонда:

1. A = B + 2 (бірінші бригада 1 сағатта 2 кітап сөресін артық дайындайды)
2. Ax = 180 (бірінші бригада x сағатта 180 кітап сөресін дайындайды)
3. By = 180 (екінші бригада y сағатта 180 кітап сөресін дайындайды)

Ax = 180 теңдеуінен A = 180/x, ал By = 180 теңдеуінен B = 180/y екенін табамыз. Бұларды A = B + 2 теңдеуіне қойсақ:

$$ \frac{180}{x} = \frac{180}{y} + 2 $$

$$ \frac{180}{y-3} = \frac{180}{y} + 2 $$

Теңдеуді шешеміз:

$$ 180y = 180(y-3) + 2y(y-3) $$

$$ 180y = 180y - 540 + 2y^2 - 6y $$

$$ 2y^2 - 6y - 540 = 0 $$

$$ y^2 - 3y - 270 = 0 $$

Квадрат теңдеуді шешеміз:

$$ D = (-3)^2 - 4(1)(-270) = 9 + 1080 = 1089 $$

$$ y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1089}}{2(1)} = \frac{3 + 33}{2} = \frac{36}{2} = 18 $$

$$ y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1089}}{2(1)} = \frac{3 - 33}{2} = \frac{-30}{2} = -15 $$

Уақыт теріс бола алмайтындықтан, біз тек оң шешімді қабылдаймыз.

y = 18 (екінші бригада 18 сағатта тапсырманы орындайды)

Енді бірінші бригаданың жұмыс істеген уақытын табамыз:

x = y - 3 = 18 - 3 = 15

x = 15 (бірінші бригада 15 сағатта тапсырманы орындайды)

Әр бригада қанша уақытта тапсырманы орындайтынын анықтадық:

Бірінші бригада: 15 сағат

Екінші бригада: 18 сағат

Ответ: Бірінші бригада 15 сағат, екінші бригада 18 сағат.