12.25. Теміржол құрылысында екі жол бригадасы жұмыс істеді. Бірінші бригада екіншіге қарағанда күн сайын 40 м артық жол төседі және 270 м теміржолын салды. Екінші бригада біріншіге қарағанда 2 күн артық жұмыс істеп, 250 м теміржолын салды. Әр бригада қанша күннен жұмыс істеді?

Шешуі:

Белгілеулер енгіземіз:

• x — бірінші бригаданың жұмыс істеген күндерінің саны.
• y — екінші бригаданың жұмыс істеген күндерінің саны.

Есептің шарты бойынша:

• Бірінші бригада екіншіге қарағанда күн сайын 40 м артық жол төседі.
• Бірінші бригада 270 м теміржолын салды.
• Екінші бригада біріншіге қарағанда 2 күн артық жұмыс істеді.
• Екінші бригада 250 м теміржолын салды.

Осыған сүйеніп, келесі теңдеулер жүйесін құрамыз:

1. y = x + 2 (екінші бригада біріншіге қарағанда 2 күн артық жұмыс істеді)

Бірінші бригаданың бір күндік өнімділігін A деп, ал екінші бригаданың бір күндік өнімділігін B деп белгілейік. Сонда:

1. A = B + 40 (бірінші бригада күн сайын 40 м артық жол төседі)
2. Ax = 270 (бірінші бригада x күнде 270 м жол салды)
3. By = 250 (екінші бригада y күнде 250 м жол салды)

Ax = 270 теңдеуінен A = 270/x, ал By = 250 теңдеуінен B = 250/y екенін табамыз. Бұларды A = B + 40 теңдеуіне қойсақ:

$$ \frac{270}{x} = \frac{250}{y} + 40 $$

$$ \frac{270}{x} = \frac{250}{x+2} + 40 $$

Теңдеуді шешеміз:

$$ 270(x+2) = 250x + 40x(x+2) $$

$$ 270x + 540 = 250x + 40x^2 + 80x $$

$$ 40x^2 + 60x - 540 = 0 $$

$$ 2x^2 + 3x - 27 = 0 $$

Квадрат теңдеуді шешеміз:

$$ D = 3^2 - 4(2)(-27) = 9 + 216 = 225 $$

$$ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{225}}{2(2)} = \frac{-3 + 15}{4} = \frac{12}{4} = 3 $$

$$ x_2 = \frac{-3 - \sqrt{225}}{2(2)} = \frac{-3 - 15}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5 $$

Күндер саны теріс бола алмайтындықтан, біз тек оң шешімді қабылдаймыз.

x = 3 (бірінші бригада 3 күн жұмыс істеді)

Енді екінші бригаданың жұмыс істеген күндерін табамыз:

y = x + 2 = 3 + 2 = 5

y = 5 (екінші бригада 5 күн жұмыс істеді)

Әр бригада қанша күн жұмыс істегенін анықтадық:

Бірінші бригада: 3 күн

Екінші бригада: 5 күн

Ответ: Бірінші бригада 3 күн, екінші бригада 5 күн жұмыс істеді.