12.28. Фабрикада бір ауысымда бірінші цех 320 киім, екіншісі 270 киім тікті. Бірінші цех 1 сағатта екінші цехқа қарағанда 2 киімге кем тікті және 5 сағ артық жұмыс істеді. Бірінші цех 1 сағатта қанша киім тікті?

Шешуі:

Белгілеулер енгіземіз:

• x — бірінші цехтың жұмыс істеген сағат саны.
• y — екінші цехтың жұмыс істеген сағат саны.

Есептің шарты бойынша:

• Бірінші цех 320 киім тікті.
• Екінші цех 270 киім тікті.
• Бірінші цех 1 сағатта екінші цехқа қарағанда 2 киімге кем тікті.
• Бірінші цех 5 сағ артық жұмыс істеді.

Осыған сүйеніп, келесі теңдеулер жүйесін құрамыз:

1. x = y + 5 (бірінші цех 5 сағ артық жұмыс істеді)

Бірінші цехтың 1 сағатта тігетін киім санын A деп, ал екінші цехтың 1 сағатта тігетін киім санын B деп белгілейік. Сонда:

1. A = B - 2 (бірінші цех 1 сағатта 2 киімге кем тікті)
2. Ax = 320 (бірінші цех x сағатта 320 киім тікті)
3. By = 270 (екінші цех y сағатта 270 киім тікті)

Ax = 320 теңдеуінен A = 320/x, ал By = 270 теңдеуінен B = 270/y екенін табамыз. Бұларды A = B - 2 теңдеуіне қойсақ:

$$ \frac{320}{x} = \frac{270}{y} - 2 $$

$$ \frac{320}{y+5} = \frac{270}{y} - 2 $$

Теңдеуді шешеміз:

$$ 320y = 270(y+5) - 2y(y+5) $$

$$ 320y = 270y + 1350 - 2y^2 - 10y $$

$$ 2y^2 + 60y - 1350 = 0 $$

$$ y^2 + 30y - 675 = 0 $$

Квадрат теңдеуді шешеміз:

$$ D = 30^2 - 4(1)(-675) = 900 + 2700 = 3600 $$

$$ y_1 = \frac{-30 + \sqrt{3600}}{2(1)} = \frac{-30 + 60}{2} = \frac{30}{2} = 15 $$

$$ y_2 = \frac{-30 - \sqrt{3600}}{2(1)} = \frac{-30 - 60}{2} = \frac{-90}{2} = -45 $$

Уақыт теріс бола алмайтындықтан, біз тек оң шешімді қабылдаймыз.

y = 15 (екінші цех 15 сағат жұмыс істеді)

Енді бірінші цехтың жұмыс істеген уақытын табамыз:

x = y + 5 = 15 + 5 = 20

x = 20 (бірінші цех 20 сағат жұмыс істеді)

Енді бірінші цехтың 1 сағатта қанша киім тігетінін табамыз:

$$ A = \frac{320}{x} = \frac{320}{20} = 16 $$

Ответ: 16