12.24. Екі жүктасушы өнімдер салынған вагонды түсірді. Бірінші екіншіге қарағанда бір күнде 50 центнерден артық жүк түсіріп, барлығы 300 ц жүк түсірді және ол 2 күнге кем жұмыс істеді. Екінші жүктасушы 250 ц жүк түсірді. Әр жүктасушы қанша күннен жұмыс істеді?

Шешуі:

Белгілеулер енгіземіз:

• x — бірінші жүк тасушының жұмыс істеген күндерінің саны.
• y — екінші жүк тасушының жұмыс істеген күндерінің саны.

Есептің шарты бойынша:

• Бірінші жүк тасушы бір күнде екіншіге қарағанда 50 ц артық түсіреді.
• Барлығы 300 ц жүк түсірілді.
• Бірінші жүк тасушы 2 күнге кем жұмыс істеді.
• Екінші жүк тасушы 250 ц жүк түсірді.

Осыған сүйеніп, келесі теңдеулер жүйесін құрамыз:

1. x = y - 2 (бірінші жүк тасушы екіншіге қарағанда 2 күнге кем жұмыс істеді)

Бірінші жүк тасушының бір күндік өнімділігін A деп, ал екінші жүк тасушының бір күндік өнімділігін B деп белгілейік. Сонда:

1. A = B + 50 (бірінші жүк тасушы бір күнде 50 ц артық түсіреді)
2. Ax = 300 (бірінші жүк тасушы x күнде 300 ц түсірді)
3. By = 250 (екінші жүк тасушы y күнде 250 ц түсірді)

Ax = 300 теңдеуінен A = 300/x, ал By = 250 теңдеуінен B = 250/y екенін табамыз. Бұларды A = B + 50 теңдеуіне қойсақ:

$$ \frac{300}{x} = \frac{250}{y} + 50 $$

$$ \frac{300}{y-2} = \frac{250}{y} + 50 $$

Теңдеуді шешеміз:

$$ 300y = 250(y-2) + 50y(y-2) $$

$$ 300y = 250y - 500 + 50y^2 - 100y $$

$$ 50y^2 - 150y - 500 = 0 $$

$$ y^2 - 3y - 10 = 0 $$

Квадрат теңдеуді шешеміз:

$$ D = (-3)^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 $$

$$ y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 $$

$$ y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $$

Күндер саны теріс бола алмайтындықтан, біз тек оң шешімді қабылдаймыз.

y = 5 (екінші жүк тасушы 5 күн жұмыс істеді)

Енді бірінші жүк тасушының жұмыс істеген күндерін табамыз:

x = y - 2 = 5 - 2 = 3

x = 3 (бірінші жүк тасушы 3 күн жұмыс істеді)

Әр жүк тасушы қанша күн жұмыс істегенін анықтадық:

Бірінші жүк тасушы: 3 күн

Екінші жүк тасушы: 5 күн

Ответ: Бірінші жүк тасушы 3 күн, екінші жүк тасушы 5 күн жұмыс істеді.