10. AM - медиана треугольника ABC, площадь которого 120 см². E - середина медианы AM. Луч BE пересекает сторону AC в точке K. Найти площадь четырехугольника MEKC.

Пусть площадь треугольника ABC равна $$S_{ABC} = 120$$ см$$^2$$. Так как AM - медиана, то площадь треугольника ABM равна половине площади треугольника ABC: $$S_{ABM} = \frac{1}{2}S_{ABC} = 60$$ см$$^2$$. Так как E - середина AM, то площадь треугольника ABE равна половине площади треугольника ABM: $$S_{ABE} = \frac{1}{2}S_{ABM} = 30$$ см$$^2$$. Пусть площадь треугольника AEK равна $$x$$, тогда площадь треугольника MEK также равна $$x$$. Площадь треугольника ABK равна площади треугольника ABE + площадь треугольника BEK. Также мы знаем, что $$\frac{AK}{KC} = \frac{S_{ABK}}{S_{BCK}}$$. Т.к. $$S_{ABC} = 120$$ см$$^2$$ , то $$S_{ABK} + S_{BCK} = 120$$ см$$^2$$. По теореме Менелая для треугольника ACM и секущей BEK: $$\frac{AE}{EM} \cdot \frac{MB}{BC} \cdot \frac{CK}{KA} = 1$$ $$\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{CK}{KA} = 1 \implies \frac{CK}{KA} = 2 \implies \frac{AK}{AC} = \frac{1}{3}$$ Тогда $$S_{ABK} = \frac{1}{3}S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot 120 = 40$$ см$$^2$$. Следовательно, $$S_{BEK} = S_{ABK} - S_{ABE} = 40 - 30 = 10$$ см$$^2$$ и $$S_{MEK} = S_{AEK} = x$$. Пусть $$S_{MEKC} = S_{MEK} + S_{EKC}$$. Так как $$S_{AEK} = \frac{1}{2}S_{AME} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}S_{AMC}$$, то $$S_{EKC} = 2S_{AEK}$$. Итак, $$AK = \frac{1}{3}AC$$, а $$KC = \frac{2}{3}AC$$. Значит, $$S_{AKM} = \frac{1}{3}S_{AMC} = \frac{1}{3} \cdot 60 = 20 см^2$$, а $$S_{MKC} = \frac{2}{3}S_{AMC} = \frac{2}{3} \cdot 60 = 40 см^2$$. Так как $$AE = EM$$, то $$S_{AEM} = \frac{1}{2}S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30$$. Тогда $$S_{MEK} = \frac{EK}{BE}S_{BEM}$$. Площадь четырехугольника $$MEKC = S_{MEK} + S_{EKC} = 25$$. Ответ: 25 см$$^2$$.