6. Сумма гипотенузы и катета, лежащего против угла в 30° в прямоугольном треугольнике равна 24 см. Найдите площадь круга, описанного около треугольника.

Пусть гипотенуза равна $$c$$, а катет, лежащий против угла 30°, равен $$a$$. Тогда $$c + a = 24$$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, то есть $$a = \frac{c}{2}$$. Подставим это в первое уравнение: $$c + \frac{c}{2} = 24$$, следовательно, $$\frac{3}{2}c = 24$$, откуда $$c = 16$$ см, а $$a = 8$$ см. Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то есть $$R = \frac{c}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ см. Площадь круга равна $$S = \pi R^2 = \pi (8^2) = 64\pi$$ см$$^2$$. Ответ: $$64\pi$$ см$$^2$$.