7. Найдите наибольшее целое решение неравенства $$\frac{(x-9)^2}{x^2 + x - 12} \le 0$$.

Решим неравенство $$\frac{(x-9)^2}{x^2 + x - 12} \le 0$$. Числитель $$(x-9)^2$$ всегда неотрицателен. Значит, дробь может быть меньше или равна нулю только если числитель равен 0 или знаменатель отрицателен. 1. $$(x-9)^2 = 0 \Rightarrow x = 9$$ 2. $$x^2 + x - 12 < 0$$. Разложим на множители: $$x^2 + x - 12 = (x+4)(x-3)$$. Получаем $$(x+4)(x-3) < 0$$. Решаем методом интервалов: $$x \in (-4, 3)$$. Итак, неравенство выполняется, когда $$x \in (-4, 3) \cup \{9\}$$. Наибольшее целое решение - это 2. Но, $$x
e 3$$ и $$x
e -4$$. Значит, берем наибольшее число из интервала $$(-4, 3)$$, это 2. Однако, при $$x = 9$$ числитель обращается в 0, а знаменатель не равен 0. Следовательно $$x = 9$$ является решением. Так как нас просят найти наибольшее целое решение, то это 9. Ответ: 9