9. Три числа, дающие в сумме 36, являются последовательными членами арифметической прогрессии. Если из первого числа вычесть 5, из второго вычесть 6, а третье увеличить в два раза, то полученные числа будут последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите эти числа.

Пусть числа арифметической прогрессии: $$a-d, a, a+d$$. Тогда их сумма $$(a-d)+a+(a+d) = 3a = 36$$, следовательно, $$a = 12$$. Числа: $$12-d, 12, 12+d$$. После преобразования, числа геометрической прогрессии: $$12-d-5, 12-6, 2(12+d)$$ или $$7-d, 6, 24+2d$$. В геометрической прогрессии: $$\frac{6}{7-d} = \frac{24+2d}{6}$$. $$36 = (7-d)(24+2d) = 168 + 14d - 24d - 2d^2$$. $$2d^2 + 10d - 132 = 0$$. $$d^2 + 5d - 66 = 0$$. $$D = 5^2 - 4(1)(-66) = 25 + 264 = 289$$. $$d = \frac{-5 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-5 \pm 17}{2}$$. $$d_1 = \frac{-5 + 17}{2} = 6$$. $$d_2 = \frac{-5 - 17}{2} = -11$$. Если $$d = 6$$, числа арифметической прогрессии: $$12-6, 12, 12+6$$ или $$6, 12, 18$$. Числа геометрической прогрессии: $$6-5, 12-6, 2(18)$$ или $$1, 6, 36$$. Если $$d = -11$$, числа арифметической прогрессии: $$12-(-11), 12, 12+(-11)$$ или $$23, 12, 1$$. Числа геометрической прогрессии: $$23-5, 12-6, 2(1)$$ или $$18, 6, 2$$. Ответ: $$6, 12, 18$$ или $$23, 12, 1$$