Аркадий и Марина, работая вместе, могут выполнить компьютерный набор некоторой книги за 4 дня. Если Марина наберет 1/6 книги, а затем ее сменит Аркадий, то вся книга будет набрана за 7 дней. За сколько дней может выполнить эту работу каждый из них, работая самостоятельно?

Пусть x - время, за которое Аркадий может выполнить работу самостоятельно, y - время, за которое Марина может выполнить работу самостоятельно.

Тогда, их совместная работа: 1/x + 1/y = 1/4

Когда Марина наберет 1/6 книги, это займет y/6 дней. Остальную часть (5/6) наберет Аркадий за 7 - y/6 дней, то есть (5/6) / x = 7 - y/6

Составим систему уравнений:

1) 1/x + 1/y = 1/4

2) (5/6) / x = 7 - y/6

Преобразуем систему:

1) 1/x = 1/4 - 1/y

2) (5/6) / x = (42 - y) / 6

x = 5 / (42 - y)

Подставим x в первое уравнение: (42 - y) / 5 + 1/y = 1/4

(42 - y) / 5 = 1/4 - 1/y

(42 - y) / 5 = (y - 4) / (4y)

4y(42 - y) = 5(y - 4)

168y - 4y² = 5y - 20

4y² - 163y - 20 = 0

Решим квадратное уравнение: y = (163 ± √(163² - 4 * 4 * (-20))) / (2 * 4) = (163 ± √(26569 + 320)) / 8 = (163 ± √26889) / 8 = (163 ± 164) / 8

y₁ = (163 + 164) / 8 = 327 / 8 = 40.875 (не подходит, т.к. Марина должна выполнить 1/6 книги)

y₂ = (163 - 164) / 8 = -1/8 (не подходит, т.к. время не может быть отрицательным)

Следовательно, решаем другое уравнение: 1/6 / y + 5/6 / x = 7

Пусть x и y это скорости работы. Тогда x+y = 1/4 = 0.25, 1/6*y + 5/6*x = 7 => y/6 + 5x/6 = 7 => y + 5x = 42

y = 0.25 - x => 0.25 - x + 5x = 42 => 4x = 41.75 => x = 10.4375 , y = -10.1875

Проверим скорость работы Марины y/6. Приравниваем к 7 -> y = 42. Это не может быть верным, т.к. x + y = 4 (4x + 4y = 1). Получается 46. Может быть совместная работа за 4 дня - это 1?

Составим уравнение 4/х + 4/у = 1, у/6 + x *5/6 = 7. Тогда 4/x + 4/y = 1 = y = (4x)/(x-4). у/6 + 5х/6 = 7 -> у + 5х = 42, у = 42 - 5х. Подставим у: (4х)/(x-4) = 42-5х

4x = 42x - 5x^2 -168 + 20x => 5x^2 -58x +168 = 0. Решаем через дискриминант: D = 58^2 - 4*5*168 = 3364 - 3360 = 4

x1 = (58+2)/10 = 6, x2 = (58-2)/10 = 5.6, тогда у1 = (4*6)/(6-4) = 24/2 = 12, у2 = (4 * 5.6)/(5.6-4) = 22.4 / 1.6 = 14

Проверим 6 * 5/6 + 12 * 1/6 = 5 + 2 = 7 (Верно!). 5.6 * 5/6 + 14*1/6 = 4.66667 + 2.33333 = 7. Да, сработало!

Ответ: Аркадий выполнит работу за 6 дней, Марина за 12 дней.