2) (b + 1)x² + (b + 3)x + 2 = 0; 3) (b+5)x² + (26 + 10)x + 4 = 07 Теорема Виета 141. Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней: 1) x² + 17x-38 = 0; 3) 3x²-8x-14 = 0; 2) x²-16x + 4 = 0; 4) 7x² + 23x + 5 = 0. 142. Найдите коэффициенты в и с уравнения х² + bx + c = 0, если его корнями являются числа: 1) -7 и 14; 1 2) - и 2.

141. Теорема Виета позволяет найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его.

Рассмотрим квадратное уравнение в общем виде: $$ax^2 + bx + c = 0$$.

Сумма корней $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$, произведение корней $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$.

1. $$x^2 + 17x - 38 = 0$$, где $$a = 1$$, $$b = 17$$, $$c = -38$$. Следовательно, $$x_1 + x_2 = -\frac{17}{1} = -17$$, $$x_1 \cdot x_2 = \frac{-38}{1} = -38$$.
2. $$x^2 - 16x + 4 = 0$$, где $$a = 1$$, $$b = -16$$, $$c = 4$$. Следовательно, $$x_1 + x_2 = -\frac{-16}{1} = 16$$, $$x_1 \cdot x_2 = \frac{4}{1} = 4$$.
3. $$3x^2 - 8x - 14 = 0$$, где $$a = 3$$, $$b = -8$$, $$c = -14$$. Следовательно, $$x_1 + x_2 = -\frac{-8}{3} = \frac{8}{3}$$, $$x_1 \cdot x_2 = \frac{-14}{3} = -\frac{14}{3}$$.
4. $$7x^2 + 23x + 5 = 0$$, где $$a = 7$$, $$b = 23$$, $$c = 5$$. Следовательно, $$x_1 + x_2 = -\frac{23}{7} = -\frac{23}{7}$$, $$x_1 \cdot x_2 = \frac{5}{7} = \frac{5}{7}$$.

Ответ:

1. Сумма корней равна $$-17$$, произведение корней равно $$-38$$.
2. Сумма корней равна $$16$$, произведение корней равно $$4$$.
3. Сумма корней равна $$\frac{8}{3}$$, произведение корней равно $$\frac{-14}{3}$$.
4. Сумма корней равна $$\frac{-23}{7}$$, произведение корней равно $$\frac{5}{7}$$.

142. Теорема Виета позволяет найти коэффициенты $$b$$ и $$c$$, если известны корни квадратного уравнения. По теореме Виета, если $$x_1$$ и $$x_2$$ корни квадратного уравнения $$x^2 + bx + c = 0$$, то сумма корней $$x_1 + x_2 = -b$$, а произведение $$x_1 \cdot x_2 = c$$.

1. Если корни уравнения равны $$-7$$ и $$14$$, то:

$$ -b = x_1 + x_2 = -7 + 14 = 7 $$

$$ c = x_1 \cdot x_2 = -7 \cdot 14 = -98 $$

Следовательно, $$b = -7$$, $$c = -98$$.

2. Если корни уравнения равны $$\frac{1}{6}$$ и $$2$$, то:

$$ -b = x_1 + x_2 = \frac{1}{6} + 2 = \frac{1}{6} + \frac{12}{6} = \frac{13}{6} $$

$$ c = x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{6} \cdot 2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$

Следовательно, $$b = -\frac{13}{6}$$, $$c = \frac{1}{3}$$.

Ответ:

1. $$b = -7$$, $$c = -98$$.
2. $$b = -\frac{13}{6}$$, $$c = \frac{1}{3}$$.