B1. Даны четыре точки A, B, C, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков AB и CD, AC и BD, AD и BC, пересекаются в одной точке.

Пусть O — середина отрезка, соединяющего середины AB и CD. Обозначим радиус-векторы точек через a, b, c, d. Тогда радиус-вектор середины отрезка между серединами AB и CD равен \(\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\).

Тот же результат получается для пары середин AC и BD, а также для пары середин AD и BC: во всех случаях радиус-вектор середины соединяющего их отрезка равен \(\frac{a+b+c+d}{4}\). Значит, все три отрезка имеют одну и ту же середину O. Поэтому соответствующие прямые проходят через O.

Итак, все три прямые пересекаются в одной точке.