B2. AB и BC — отрезки касательных, проведенных к окружности с центром O радиуса 10 см. Найдите периметр четырёхугольника ABCO, если угол AOC равен 120°.

Из одной точки B к окружности проведены две касательные, поэтому \(AB=BC\). Радиусы \(OA\) и \(OC\) равны 10 см и перпендикулярны касательным.

В прямоугольном треугольнике \(AOB\) угол \(AOB\) равен половине угла \(AOC\): \(\angle AOB=60^\circ\).

\(\cos 60^\circ=\frac{OA}{OB}\), поэтому \(\frac12=\frac{10}{OB}\), откуда \(OB=20\) см.

По теореме Пифагора:

\(AB=\sqrt{OB^2-OA^2}=\sqrt{20^2-10^2}=10\sqrt3\) см.

Периметр четырёхугольника \(ABCO\):

\(P=AB+BC+CO+OA=10\sqrt3+10\sqrt3+10+10=20\sqrt3+20\) см.

Ответ: \(20+20\sqrt3\) см.