C1. Угол между диаметром AB и хордой AC равен 30°. Через точку C проведена касательная, пересекающая прямую AB в точке K. Найдите радиус окружности, если CK = 4 см.

Так как \(AB\) — диаметр, угол \(ACB\) прямой. Угол между диаметром \(AB\) и хордой \(AC\) равен \(30^\circ\), значит в прямоугольном треугольнике \(ACK\) угол при A равен \(30^\circ\).

Касательная в точке C перпендикулярна радиусу \(OC\). По теореме о касательной и хорде угол между касательной \(CK\) и хордой \(CA\) равен вписанному углу, опирающемуся на хорду \(CA\), то есть \(30^\circ\).

В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом и касательной, длина касательного отрезка связана с радиусом: при угле \(30^\circ\) получается \(CK=R\cot30^\circ=R\sqrt3\). Поэтому \(R=\frac{4}{\sqrt3}=\frac{4\sqrt3}{3}\) см.

Ответ: \(\frac{4\sqrt3}{3}\) см.