Баржа прошла по течению реки 54 км и, повернув обратно, прошла ещё 51 км, затратив на весь путь 5 ч. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Ответ: 23 км/ч

1. Пусть \(v\) - собственная скорость баржи (км/ч).
2. Тогда скорость по течению реки равна \(v + 5\) км/ч, а против течения \(v - 5\) км/ч.
3. Время, затраченное на путь по течению, равно \(\frac{54}{v + 5}\) ч, а против течения - \(\frac{51}{v - 5}\) ч.
4. Общее время в пути составляет 5 часов, поэтому составим уравнение: \(\frac{54}{v + 5} + \frac{51}{v - 5} = 5\)
5. Решим уравнение: \(54(v - 5) + 51(v + 5) = 5(v + 5)(v - 5)\) \(54v - 270 + 51v + 255 = 5(v^2 - 25)\) \(105v - 15 = 5v^2 - 125\) \(5v^2 - 105v - 110 = 0\) \(v^2 - 21v - 22 = 0\)
6. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(D = (-21)^2 - 4(1)(-22) = 441 + 88 = 529\) \(v = \frac{21 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{21 \pm 23}{2}\)
7. Получим два значения для скорости: \(v_1 = \frac{21 + 23}{2} = 22\) и \(v_2 = \frac{21 - 23}{2} = -1\).
8. Так как скорость не может быть отрицательной, то собственная скорость баржи равна 22 км/ч.

Ответ: 22 км/ч