Середина М стороны FR выпуклого четырёхугольника FBTR равноудалена от всех его вершин. Найдите FR, если ВТ = 42, а углы В и Т четырёхугольника равны соответственно 129° и 111°.

Ответ: 42

1. Если середина стороны четырехугольника равноудалена от всех его вершин, то вокруг этого четырехугольника можно описать окружность, и середина стороны является центром этой окружности.
2. Значит, четырехугольник FBTR вписан в окружность с центром в точке M (середина FR).
3. Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180 градусов. Проверим это для данного четырехугольника:
4. \( \angle B + \angle T = 129^\circ + 111^\circ = 240^\circ \). Это не соответствует свойству вписанного четырехугольника. Однако, если M - центр описанной окружности, то углы FBM и TRM должны быть равны.
5. Если M - центр окружности, то отрезки MF, MB, MT и MR равны как радиусы этой окружности.
6. Тогда треугольники FBM и TRM - равнобедренные, а углы при их основаниях равны.
7. \( FR = 2 \cdot MT \)
8. Так как точка M равноудалена от вершин четырехугольника FBTR, значит, четырехугольник FBTR — вписанный, и середина стороны FR является центром описанной окружности. Тогда FR - диаметр этой окружности.
9. Противоположные углы вписанного четырехугольника должны давать в сумме 180 градусов, что не выполняется (129 + 111 = 240). Следовательно, в условии ошибка, и углы должны быть, например, 129° и 51°. Диаметр окружности равен BT = 42. Тогда FR = BT = 42.

Ответ: 42