Постройте график функции у = x²+2x+3 npu x≥-3, 12 - при х<-3 и определите, при каких значениях параметра m прямая у = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: m = 0, m = 2

1. Для \(x \ge -3\), функция \(y = x^2 + 2x + 3\) является параболой. Найдем вершину параболы:
   • Координата \(x\) вершины параболы: \(x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2(1)} = -1\).
   • Координата \(y\) вершины параболы: \(y_v = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2\).
   Таким образом, вершина параболы находится в точке \((-1, 2)\).
2. Для \(x < -3\), функция \(y = \frac{12}{x}\) является гиперболой.
3. Найдем значение функции \(y = \frac{12}{x}\) при \(x = -3\): \(y = \frac{12}{-3} = -4\).
4. Построим график функции.

4. Прямая \(y = m\) будет иметь с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через вершину параболы или касается асимптоты гиперболы.
   • Вершина параболы находится в точке \((-1, 2)\), следовательно, \(m = 2\).
   • Горизонтальная асимптота гиперболы \(y = \frac{12}{x}\) - это прямая \(y = 0\), следовательно, \(m = 0\).
5. Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку при \(m = 0\) и \(m = 2\).

Ответ: m = 0, m = 2