В треугольнике АВС с тупым углом АВС проведены высоты АА₁ и СС1. Докажите, что треугольники А₁ВС₁ и АВС подобны.

Рассмотрим треугольник ABC с тупым углом ABC. Пусть AA₁ и CC₁ - высоты, опущенные на стороны BC и AB соответственно. Рассмотрим треугольники A₁BC₁ и ABC.

Докажем, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.

Рассмотрим четырехугольник A₁ACC₁. Углы A₁AC и A₁CC₁ прямые, так как AA₁ и CC₁ - высоты. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. Тогда \(\angle A₁AC + \angle A₁CC₁ + \angle C₁AA₁ + \angle A₁C₁C = 360^{\circ}\), \(90^{\circ} + 90^{\circ} + \angle C₁AA₁ + \angle A₁C₁C = 360^{\circ}\), следовательно, \(\angle C₁AA₁ + \angle A₁C₁C = 180^{\circ}\).

Углы C₁AA₁ и BAC - один и тот же угол, то есть \(\angle C₁AA₁ = \angle BAC\).

Следовательно, \(\angle BAC + \angle A₁C₁C = 180^{\circ}\). Это означает, что угол A₁C₁C является смежным с углом A₁C₁B. Таким образом, \(\angle A₁C₁B = 180^{\circ} - \angle A₁C₁C\). Поэтому \(\angle A₁C₁B = \angle BAC\).

Рассмотрим треугольники A₁BC₁ и ABC. У них есть общий угол B. Также, мы показали, что \(\angle BA₁C₁ = \angle BCA\) и \(\angle BC₁A₁ = \angle BAC\).

Следовательно, треугольники A₁BC₁ и ABC подобны по двум углам (угол B - общий, и \(\angle BA₁C₁ = \angle BCA\)).

Ответ: Треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.