Постройте график функции у = (x²+3x+2)(x²-4x+3) / x²-2x-3 и определите, при каких значениях т прямая ут = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Преобразуем функцию:

$$y = \frac{(x^2+3x+2)(x^2-4x+3)}{x^2-2x-3}$$

Разложим квадратные трехчлены на множители:

$$x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$$

$$x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$$

$$x^2-2x-3 = (x+1)(x-3)$$

Тогда:

$$y = \frac{(x+1)(x+2)(x-1)(x-3)}{(x+1)(x-3)}$$

Сократим дробь:

$$y = (x+2)(x-1), \quad x
eq -1, x
eq 3$$

$$y = x^2 + x - 2, \quad x
eq -1, x
eq 3$$

Графиком является парабола с вершиной в точке $$x_v = -\frac{1}{2}$$, $$y_v = (-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{9}{4} = -2.25$$.

Исключенные точки:

При $$x = -1$$, $$y = (-1)^2 + (-1) - 2 = 1 - 1 - 2 = -2$$.

При $$x = 3$$, $$y = (3)^2 + 3 - 2 = 9 + 3 - 2 = 10$$.

Теперь определим, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Это происходит в следующих случаях:

• Прямая проходит через вершину параболы: $$m = -2.25$$
• Прямая проходит через выколотую точку $$(-1, -2)$$: $$m = -2$$
• Прямая проходит через выколотую точку $$(3, 10)$$: $$m = 10$$

Ответ: -2.25; -2; 10