Блок 3. 5. Решить неравенства: а) √(x + 8) > x + 2; б) √(x − 3) < x − 5.

а) ОДЗ: \(x\ge-8\). Если \(x+2<0\), то есть \(-8\le x<-2\), неравенство верно, поскольку корень неотрицателен. При \(x\ge-2\) обе части неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат: \(x+8>(x+2)^2\). Получаем \(x^2+3x-4<0\), то есть \((x+4)(x-1)<0\), откуда \(-4<x<1\). С учётом рассматриваемого случая: \([-2;1)\). Объединяем: \([-8;1)\).

б) ОДЗ: \(x\ge3\). Чтобы правая часть была строго положительной, необходимо \(x-5>0\), то есть \(x>5\). Тогда обе части неотрицательны и можно возвести в квадрат: \(x-3<(x-5)^2\). Это равносильно \(x^2-11x+28>0\), или \((x-4)(x-7)>0\). Решение последнего неравенства: \(x<4\) или \(x>7\). Пересечение с условием \(x>5\) даёт \(x>7\).

Ответ: а) [−8; 1); б) (7; +∞).