12. Боковая сторона трапеции равна 31, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 14 и 46.

Пусть боковая сторона трапеции равна $$c = 31$$, основания $$a = 46$$ и $$b = 14$$, а угол между боковой стороной и большим основанием равен $$30^{\circ}$$. Опустим высоту $$h$$ из вершины меньшего основания на большее. Тогда $$h = c \cdot \sin{30^{\circ}} = 31 \cdot \frac{1}{2} = 15.5$$. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{46 + 14}{2} \cdot 15.5 = \frac{60}{2} \cdot 15.5 = 30 \cdot 15.5 = 465$$. Ответ: 465