19.1. Боковые грани пирамиды МАВС наклонены к плоскости основания АВС под одинаковым углом. а) Докажите, что высоты боковых граней пирамиды МАВС равны. б) Найдите угол наклона боковой грани пирамиды МАВС к плоскости ос- нования, если ребра основания АВ, ВС и АС равны 13, 14 и 15 соответствен- но, высота пирамиды равна 12.

а) Доказательство:

Пусть $$M$$ - вершина пирамиды, $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ - стороны основания. Так как боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, то проекция вершины $$M$$ на плоскость основания, точка $$O$$, является центром окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$.

Пусть $$MD$$, $$ME$$, $$MF$$ - высоты боковых граней, проведенные из вершины $$M$$ к сторонам $$AB$$, $$BC$$, $$AC$$ соответственно. Тогда $$MD = ME = MF$$, так как боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

б) Найдем угол наклона боковой грани пирамиды $$MABC$$ к плоскости основания.

Пусть $$h$$ - высота пирамиды, $$r$$ - радиус вписанной окружности в треугольник $$ABC$$. Угол наклона боковой грани к плоскости основания равен углу между высотой боковой грани и радиусом вписанной окружности, проведенным в точку касания.

Сначала найдем площадь треугольника $$ABC$$ по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p = \frac{a+b+c}{2}$$ - полупериметр треугольника.

В нашем случае $$a = 13$$, $$b = 14$$, $$c = 15$$, тогда $$p = \frac{13+14+15}{2} = 21$$.

$$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$$.

Теперь найдем радиус вписанной окружности: $$r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$$.

Высота пирамиды $$h = 12$$. Тогда тангенс угла наклона боковой грани к плоскости основания равен: $$tg(\alpha) = \frac{h}{r} = \frac{12}{4} = 3$$.

Следовательно, угол наклона боковой грани к плоскости основания равен $$\alpha = arctg(3)$$.

Ответ: б) $$arctg(3)$$