19.4. В правильном тетраэдре SABC точки Ми N — центры граней SAC и SBC соответственно. а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки А, Ми N, делит ребро SC пополам. б) Точка О — центр грани АВС. Найдите расстояние от точки О до плоско- сти AMN, если ребро тетраэдра равно √3.

а) Доказательство:

В правильном тетраэдре $$SABC$$ точки $$M$$ и $$N$$ - центры граней $$SAC$$ и $$SBC$$ соответственно. Плоскость, проходящая через точки $$A$$, $$M$$ и $$N$$, пересекает ребро $$SC$$ в точке $$X$$. Нужно доказать, что $$SX = XC$$.

Так как $$M$$ и $$N$$ - центры граней, то $$SM = \frac{2}{3} SA$$ и $$SN = \frac{2}{3} SB$$. Тогда $$MN || AB$$.

Прямая $$MN$$ параллельна плоскости $$ABC$$, поэтому плоскость $$AMN$$ пересекает плоскость $$SBC$$ по прямой $$NX$$, параллельной $$BC$$. Аналогично, плоскость $$AMN$$ пересекает плоскость $$SAC$$ по прямой $$MX$$, параллельной $$AC$$.

Поскольку $$M$$ и $$N$$ - центры граней, то $$AM$$ и $$BN$$ - медианы, а значит $$SM = \frac{2}{3}SA$$ и $$SN = \frac{2}{3}SB$$. Следовательно, $$MN \parallel AB$$ и $$MN = \frac{1}{3}AB$$.

б) Точка $$O$$ - центр грани $$ABC$$. Нужно найти расстояние от точки $$O$$ до плоскости $$AMN$$, если ребро тетраэдра равно $$\sqrt{3}$$.

Ответ: