19.5. Постройте сечение куба А...D₁ плоскостью, проходящей через середины ребер АВ и ВС и точку Р, делящую ребро DD₁ в отношении 2: 5, считая от вершины D₁. а) Докажите, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости DD₁B₁. б) Найдите площадь сечения куба этой плоскостью, если ребро куба равно 1.

а) Доказательство:

Пусть $$K$$ и $$L$$ - середины ребер $$AB$$ и $$BC$$ соответственно, а точка $$P$$ делит ребро $$DD_1$$ в отношении $$2:5$$, считая от вершины $$D_1$$. Это означает, что $$D_1P = \frac{2}{7}DD_1$$ и $$DP = \frac{5}{7}DD_1$$.

Плоскость, проходящая через точки $$K$$, $$L$$ и $$P$$, является сечением куба. Нужно доказать, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости $$DD_1B_1B$$.

б) Найдем площадь сечения куба этой плоскостью, если ребро куба равно 1.

Ответ: